Homologie cyclique périodique de l'algèbre de Schwartz d'un groupe discret d'isométries d'un espace CAT(0)

Résumé du livre

Nous calculons l'homologie cyclique périodique réduite de l'algèbre des fonctions sommables à décroissance rapide (par rapport à une métrique de mots) sur un groupe discret agissant de manière isométrique, propre et cocompacte sur un espace CAT(0). Elle coïncide avec l'homologie du groupe à coefficients dans la sous-représentation de la représentation adjointe donnée par les éléments de torsion du groupe. Cela coïncide avec l'homologie cyclique périodique de l'anneau du groupe et est en accord avec les résultats de V. Lafforgue sur la K-théorie de l'algèbre de Schwartz.Notre calcul se fait en analogie avec celui de l'homologie cyclique d'une algèbre de groupe. La présence de la topologie sur l'algèbre de Schwartz nous force à renoncer aux arguments de l'algèbre homologique abstraite et à travailler exclusivement avec des morphismes de complexes explicites. Nous partons de la décomposition du complexe cyclique en somme directe topologique des sous-complexes indexés par les classes de conjugaison du groupe. Pour étudier un tel sous-complexe nous utilisons deux outils. D'un côté, la projection "orthogonale" de l'espace CAT(0) sur le sous-espace des points de déplacement minimal sous un élément fixé de la classe de conjugaison. De l'autre, une subdivision des simplexes dans cet espace, bien adaptée à la géométrie de courbure non-positive.Nous arrivons ainsi à une rétraction par déformation du sous-complexe associé à une classe de conjugaison dans un complexe de dimension finie. Toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension finie étant équivalentes, nous pouvons oublier la topologie de l'algèbre de Schwartz et nous arrivons au résultat cherché.