Equations différentielles stochastiques rétrogrades ergodiques et applications aux EDP

Résumé du livre

Cette thèse s'intéresse à l'étude des EDSR ergodiques et à leurs applications à l'étude du comportement en temps long des solutions d'EDP paraboliques semi-linéaires. Dans un premier temps, nous établissons des résultats d'existence et d'unicité d'une EDSR ergodique avec conditions de Neumann au bord dans un convexe non borné et dans un environnement faiblement dissipatif. Nous étudions ensuite leur lien avec les EDP avec conditions de Neumann au bord et nous donnons un exemple d'application à un problème de contrôle optimal stochastique. La deuxième partie est constituée de deux sous-parties. Tout d'abord, nous étudions le comportement en temps long des solutions mild d'une EDP parabolique semi-linéaire en dimension infinie par des méthodes probabilistes. Cette méthode probabiliste repose sur une application d'un résultat nommé "Basic coupling estimate" qui nous permet d'obtenir une vitesse de convergence exponentielle de la solution vers sons asymptote. Au passage notons que cette asymptote est entièrement déterminée par la solution de l'EDP ergodique semi-linéaire associée à l'EDP parabolique semi-linéaire initiale. Puis, nous adaptons cette méthode à l'étude du comportement en temps long des solutions de viscosité d'une EDP parabolique semi-linéaire avec condition de Neumann au bord dans un convexe borné en dimension finie. Par des méthodes de régularisation et de pénalisation des coefficients et en utilisant un résultat de stabilité pour les EDSR, nous obtenons des résultats analogues à ceux obtenus dans le contexte mild, avec notamment une vitesse exponentielle de convergence de la solution vers son asymptote.