Série de Drinfel'd, monodromie et algèbres de Hecke

Résumé du livre

CETTE THESE EST COMPOSEE DE QUATRE PARTIES : DANS LA PARTIE 1, ON DEVELOPPE DES RESULTATS CONCERNANT LA SERIE DE DRINFELD. CELA CONSISTE A ETUDIER CERTAINES SOLUTIONS D'UNE EQUATION DIFFERENTIELLE LINEAIRE DU PREMIER ORDRE DU TYPE DE FUCHS. CELLES-CI S'EXPRIMENT EN FONCTION DE CERTAINES FONCTIONS, APPELEES POLYLOGARITHMES. AINSI LES COEFFICIENTS DE CETTE SERIE SONT CERTAINES VALEURS DE POLYLOGARITHMES LIEES FORTEMENT A LA FONCTION ZETA DE RIEMANN MULTIPLE (OU NOMBRES D'EULER/ZAGIER MIXTES). LA PARTIE 2 EST CONSACREE A L'ETUDE DES SYSTEMES DIFFERENTIELS DE KNIZHNIK-ZAMOLODCHIKOV K Z#N. ON Y INTRODUIT UNE CERTAINE CATEGORIE MONOIDALE STRICTE DONT LES MORPHISMES T SONT DES ARBRES BINAIRES A BRANCHES MULTIPLES. A CHAQUE T ON ASSOCIE UNE SOLUTION F#T(Z) DE K Z#N. PAR DECOMPOSITION DE T ON PROUVE QU'UNE SOLUTION DE K Z#N S'EXPRIME COMME LE PRODUIT DE DEUX FONCTIONS QUI SONT SOLUTIONS, L'UNE D'UN SYSTEME K Z#N##1, DEDUIT DE K Z#N, ET L'AUTRE D'UNE CERTAINE EQUATION DIFFERENTIELLE DU PREMIER ORDRE. CELA ETABLIT UNE COMPATIBILITE ENTRE LES SOLUTIONS DE K Z#N ET CELLES DE K Z#M (M